一個問題

統計一下世界上237個國家的人口數量，你覺得其中以1開頭的數會占多大比例，而以9開頭的數又占多大比例呢？

如果你的回答是都為1/9，恭喜你你是正常人，但是事實卻不是如此：以1開頭的數驚人的占到了27%，而以9開頭的數卻只占5%。下圖可以很形象的展示出在各國人口數量問題上，以各個數字開頭的數占了多大的比例（見下圖）。

以2開頭的數字出現的頻率是17.6%。往后出現頻率依次減少，以9為首的數字出現的頻率最低，只有4.6%。本福特定律的應用條件是：會計師怎樣利用本福特定律呢？我們知道會計數據是以貨幣計量的信息，這些從小到大自然累加的數據。

為什么會相差這么大呢？這正是神秘的本福特定律在起作用。

本福特定律

也稱為本福特法則，說明一堆從實際生活得出的數據中，以1為首位數字的數的出現概率約為總數的三成，接近直覺得出之期望值1/9的3倍。下表列出了在十進制首位數字的出現概率（%，小數點后一個位）：

也稱為本福特法則，說明一堆從實際生活得出的數據中，以1為首位數字的數的出現概率約為總數的三成，接近直覺得出之期望值1/9的3倍。下表列出了在十進制首位數字的出現概率（%，小數點后一個位）：

企業回北京友達動力推出現代化創新理念+服務專業化模式落地，真實性解決消費者在選購 配送 安裝過程中出現的任何風險，公司在全國主要城市簽約58汽修售后服務站1700家，解決 后一公里一站式貼心便捷服務，公司承諾先安裝滿意后付款。 友達動力主營：各。

本福特定律的應用

這個分布規律適用的數據集幾乎無窮無盡，包括河流的長度、城市和國家的人口、證券交易所的成交量，當然我們的會計數據（數據沒有被人為操縱過）也同樣適用。如果一組會計數據不符合本福特定律的話，就存在被篡改過的嫌疑。比如說，一家會計事務所對某公司的財務報表進行審查，發現會計數據中首位數是7、8、9的數字非常多，這就說明了管理者可能為了達到財務目標而修改了數據

1938年，本福特發現了統計報表中的這樣一個規律：一堆從實際生活得出的數據中，以1為首位數字的數的出現機率約為總數的三成，接近期望值1/9的3倍。推廣來說，越大的數，以它為首幾位的數出現的機率就越低。它可用於。

因為如果做假賬的人更改了賬本上真實的數據，就會使賬本上數字出現的頻率發生變化從而偏離“本福特定律”。

生活中還有很多的例子

——圖書館里大部分書的頭幾頁通常比較臟。因為許多到圖書館看書的人大多只是看書的開頭，不喜歡的話就不會再看下去了；把一本書完整看完的人比較少。靡不有初，鮮克有終。

——數學書后的對數表、化學書后的一些化學常數、財務課本后的終值、現值系數表等等，我們查閱的數據大多在頭幾頁里面。

——如果統計的數據足夠多，我們會發現，開頭是數字1的數據最多，大約占了所有數據的三分之一；開頭是2的數據居于其次；剩下的數字的數量依次遞減。人口、死亡率、物理和化學常數、棒球統計表、半衰期放射性同位數、物理書中的答案、素數數字以及斐波納契數列數字中均有這一定律的身影。換句話說也就是只要是由度量單位制獲得的數據都符合“第一數字定律”

定律適用范圍

第一，這些數據必須跨度足夠大，必須橫跨好幾個數量級才能產生這個結果。

本福特定律（臺灣作班佛定律）（英語：Benford's law)，說明一堆從實際生活得出的數據中，以1為首位數字的數的出現概率約為總數的三成，接近直覺得出之期望值1/9的3倍。推廣來說，越大的數，以它為首幾位的數出現的概。

第二，有人為規則的數據就不滿足次定律，比如說手機號碼、身份證號、發票編號等數據，明顯不滿足這種對數分布律。也就是說，本福特定律正是沒有任何限制才顯露出來的定律，越是對數據的產生有人為限制，越是不滿足該定律。

第三，數據不能經過人為修飾，隨便人為修改的數據一般就不滿足本福特定律了。

產生的根源

本福特定律產生的根源，就在于指數增長。這幅圖可以直觀的顯示，如果一個變量隨時間成指數增長的話，那么這個變量開頭的數字隨著時間的變化就應該是如下圖：（橫軸代表時間，縱軸代表那個變量）

顯然，在某時刻你得到它以1開頭的概率要大于9開頭。而這是只取一個值的情況，如果是取大量的數據的話，在某時刻你觀察到他以1開頭的數據數量就大于以9開頭的數量了。而指數增長的形式在自然界是十分普遍的，只要一個變量的增長率和他的大小成正比，結果就會是指數增長。比如說人類科技發展的速度大致和已有的科技成果成正比，所以人類的科技發展就是個指數增長；人口增長率會和已存在人口數成正比，因此沒有資源限制的人口增長也是指數增長。指數增長是自然中極為普遍的一種變化規律，而這種變化規律可以直接導致本福特定律。

棒球統計表以及斐波納契數列數字中，均有這個定律的身影。1961年，一位美國科學家提出，本福特定律其實是數字累加造成的現象，即使沒有單位的數字。比如，假設股票市場上的指數一開始是1000點，并以每年10%的程度上升，。

另外一種直觀的解釋（來自維基百科）是這樣的：

從數數目來說，順序從1開始數，1，2，3，…，9，從這點終結的話，所有數起首的機會似乎相同，但9之后的兩位數10至19，以1起首的數又大大拋離了其他數了。而下一堆9起首的數出現之前，必然會經過一堆以2，3，4，…，8起首的數。若果這樣數法有個終結點，以1起首的數的出現率一般都比9大。

就以一個城市的所有門牌號為例，有的街道門牌號可能在100多就結束了，有的在500多結束，有的在900多結束。注意到500多結束那條街一定包含了1、10+和100~199這些1開頭的門牌號，而不包含9開頭的百位數，只包含9及90+的以9開頭的數，這樣一來明顯以1打頭的就多于9打頭的了。然后對整個城市的所有街道做一個綜合，最終就滿足本福特定律了。（end）