12 電場的散度

當我們把電場的散度寫成▽·E這樣的時候，我們會覺得：啊，好簡潔！但是我們也知道▽算子的定義是這樣的：

那么▽·E 就應該寫成這樣：

而我們知道電場 E 其實是一個矢量函數（不同點對應的電場的情況），那我們還是可以把 E 分解成 x，y 兩個分量的和，這兩個分量后面跟一個x和y方向的單位向量就行了。那么，上面的式子就可以寫成這樣：

然后，因為矢量點乘是滿足分配律的，所以我們可以把它們按照普通乘法一樣展開成四項。因為 x 和 y 是垂直的單位向量，所以 x·y=y·x=0，x·x=y·y=1，然后剩下的就只有這兩項了（這一塊的推導邏輯跟“坐標系下的矢量點乘”那一節一樣，覺得有點陌生的話可以再返回去看看那一部分）：

這就是電場 E 的散度的最終表達式，它的意思很明顯：我們求電場 E 的散度就是把矢量函數 E 分解成x和y方向上的兩個函數，然后分別對它們求偏導，最后再把結果加起來就行了。

為了讓大家對這個有個更直觀的概念，我們來看兩個小例子：

例1：求函數 y=2x+1 的導數。

這個函數的圖像是一條直線（不信的可以自己去找一些x的值，代入進去算算y的值，然后把這些點畫在圖上），它的斜率是2，也就是說導數是2。也就是說，對于一次函數（最多只有x，沒有x的平方、立方等），它的導數就是x前面的系數（2x前面的2），而后面的常數（1）對導數沒有任何影響。

例2：求電場 E=2x+yy 的散度。

這雖然是一個非常簡單的求電場散度的例子，但是卻包含了我們求偏導，求散度的基本思想。通過這種方式，我們可以很輕松的就把電場E的散度▽·E求出來了。

補了這么多的數學和推導，我們現在有了一個定義良好、計算方便的散度▽·表達式了，但是，你還記得我們在開始講到的散度的定義么？我們最開始是怎樣引入散度的呢？

我們是從麥克斯韋方程組的積分形式引入散度的。高斯電場定律說通過一個閉合曲面的電通量跟這個閉合曲面包含的電荷量成正比，而且這個曲面可以是任意形狀。然后我們為了從宏觀進入微觀，就讓這個曲面不停地縮小再縮小，當它縮小到無窮小，縮小到只包含一個點的時候，這時候我們就說通過這個無窮小曲面的通量和體積的比就叫散度（用 div 表示）。

也就是說，我們最開始從無窮小曲面的通量定義來的散度和我們上面通過偏導數定義來的散度▽·指的是同一個東西。即：

13 為何這兩種散度是等價的？

很多人可能覺得難以理解，這兩個東西的表達形式和來源都完全不一樣，它們怎么會是同一個東西呢？但是它們確實是同一個東西，那我們為什么要弄兩套東西出來呢？在最開始我也說了，通過無窮小曲面的通量定義的散度很容易理解，跟麥克斯韋方程組的積分形式的通量也有非常大的聯系，但是這種定義不好計算（上面的例2，你用這種方式去求它的散度試試？），所以我們需要找一種能方便計算、實際可用的方式，這樣才出現了▽·形式的散度。

至于為什么這兩種形式是等價的，我給大家提供一個簡單的思路。因為這畢竟是面向大眾的科普性質的文章，具體的證明過程我就不細說了。真正感興趣的朋友可以順著這個思路去完成自己的證明，或者來我的社群里討論。

這個證明一時半會沒看懂也沒關系，感興趣的可以后面慢慢去琢磨。我只是想通過這種方式讓大家明白，通過某一方向的兩個面的通量跟這方向的偏導數之間是存在這種對應關系的，這樣我們就容易接受無窮小曲面的通量和 ▽· 這兩種散度的定義方式了。

這兩種散度的定義方式各有所長，比如我們在判斷某一點的散度是否為零的時候，我用第一個定義，去看看包含這個點的無窮小曲面的通量是不是為零就行了。如果這一點有電荷，那么這個無窮小曲面的電通量肯定就不為零，它的散度也就不為零；如果這個無窮小曲面沒有包含電荷，那這一點的散度一定為0，這就是高斯電場定律的微分方程想要告訴我們的東西。但是，如果你要計算這一點的散度是多少，那還是乖乖拿起 ▽· 去計算吧。

14 散度的幾何意義

此外，跟梯度一樣，散度這個名字也是非常形象的。很多人會跟你說散度表示的是“散開的程度”，這種說法很容易讓初學者誤解或者迷惑，比如一個正電荷會產生如下的電場線，它看起來是散開的，所以很多人就會認為這里所有的點的散度都是不為零的，都是正的。

但是，根據我們上面的分析，散度反映的是無窮小曲面的通量，這直接跟這一點是否有電荷對應。那么，這個圖的中心有一個正電荷，那么這點的散度不為零沒毛病，但是其他地方呢？其他地方看起來也是散開的，但是其他地方并沒有電荷，沒有電荷的話，其他點電場的散度就應該為0（因為這個地方無窮小曲面的通量有進有出，它們剛好抵消了），而不是你看起來的好像是散開的，所以為正。

y=2x+1的反函數是y=0.5x-0.5 反函數定義 一般地，設函數y=f(x)(x∈A)的值域是C，根據這個函數中x,y 的關系，用y把x表示出，得到x= f(y). 若對于y在C中的任何一個值，通過x= f(y)，x在A中都有唯一。

也就是說，對于一個點電荷產生的電場，只有電荷所在的點的散度不為0，其他地方的散度都為0。我們不能根據一個電場看起來是散開的就覺得這里的散度都不為0，那么，這個散開到底要怎么理解呢？

你可以這么操作：把電場線都想象成水流，然后拿一個非常輕的圓形橡皮筋放到這里，如果這個橡皮筋的面積變大，我們就說這個點的散度為正，反之為負。如果你把橡皮筋丟在電荷所在處，那么這點所有方向都往外流，那么橡皮筋肯定會被沖大（散度為正）；但是在其他地方，橡皮筋會被沖走，但是不會被沖大（散度為0），因為里外的沖力抵消了。這樣的話，這種散開的模型跟我們無窮小曲面的通量模型就不再沖突了。（編注：散度 divergence 也被稱為“源”或者“匯”，這里就是通過水流形象地類比散度的意義，電荷即為電場之“源”和“匯”。）

15 方程一：高斯電場定律

說了這么多，又是證明不同散度形式（無窮小曲面的通量和▽·）的等價性，又是說明不同散度理解方式的同一性（無窮小曲面的通量和散開的程度），都是為了讓大家從更多的維度全方位理解散度的概念，盡量避開初學者學習散度會遇到的各種坑。理解了散度的概念之后，我們再來看麥克斯韋方程組的第一個方程——高斯電場定律的微分形式就非常容易理解了：

方程的左邊 ▽·E 表示電場在某一點的散度，方程右邊表示電荷密度 ρ 和真空介電常數的比值。為什么右邊要用電荷密度 ρ 而不是電荷量 Q 呢？因為散度是無窮小曲面的通量跟體積的比值，所以電量也要除以體積，電量 Q 和體積 V 的比值就是電荷密度 ρ。對比一下它的積分形式：

兩邊都除以體積V，然后曲面縮小到無窮小：左邊的通量就變成了電場的散度▽·E，右邊的電荷量 Q 就變成了電荷密度 ρ，完美！

麥克斯韋方程組的積分形式和微分形式是一一對應的，理解這種對應的關鍵就是理解散度（和后面的旋度）的兩種不同定義方式背后的一致性，它是溝通積分和微分形式的橋梁。理解了它們，我們就能在這兩種形式的切換之間如魚得水，我們就能一看到積分形式就寫出對應的微分形式，反之亦然。

16 方程二：高斯磁場定律

理解了高斯電場定律的微分形式，那么高斯磁場定律的微分形式就能輕松寫出來了。因為現在還沒有找到磁單極子，y=2x+1的反函數是什么，磁感線都是閉合的曲線，所以閉合曲面的磁通量一定恒為0，這就是高斯磁場定律積分形式的思想：

我們一樣把這個曲面縮小到無窮小，通過這個無窮小曲面的磁通量就叫磁場的散度，那么方程的左邊就變成了磁場的散度，而右邊還是0。也就是說：磁場的散度處處為0。所以，麥克斯韋方程組的第二個方程——高斯磁場定律的微分形式就是：

17 旋 度

靜電和靜磁的微分形式我們已經說完了，那么接下來就是磁如何生電的法拉第定律了。關于法拉第是如何通過實驗一步一步發現法拉第定律的內容，我在積分篇里已經詳細說了，這里就不再多說。對法拉第定律的基本思想和積分形式的內容還不太熟悉的請先去看上一篇積分篇的內容。

法拉第定律是法拉第對電磁感應現象的一個總結，他發現只要一個曲面的磁通量（B·a）發生了改變，那么就會在曲面的邊緣感生出一個旋渦狀的電場 E 。這個旋渦狀的感生電場我們是用電場的環流來描述的，也就是電場沿著曲面邊界進行的線積分。

用具體的公式表示就是這樣：

這個法拉第定律是用積分形式寫的，我們現在要得到它的微分形式，怎么辦？那當然還是跟我們上面的操作一樣：從積分到微分，把它無限縮小就行了。我們把這個非閉合曲面縮小再縮小，一直縮小到無窮小，那么這里就出現了一個無窮小曲面的環流。

還記得我們怎么定義散度的么？散度就是通過無窮小閉合曲面的通量和閉合曲面體積的比值，而我們這里出現了一個無窮小非閉合曲面的環流，因為非閉合曲面就沒有體積的說法，只有面積。那么，通過無窮小非閉合曲面的環流和曲面面積的比值，會不會也有是一個另外什么量的定義呢？

沒錯，這確實是一個全新的量，而且這個量我們在前面稍微提到了一點，它就是旋度。我們把▽算子跟矢量做類比的時候，說一個矢量有三種乘法：跟標量相乘、點乘和叉乘。那么同樣的，▽算子也有三種作用：作用在標量函數上叫梯度（▽z），以點乘的方式作用在矢量函數上被稱為散度（▽·z），以叉乘的方式作用在矢量函數上被稱為旋度（▽×z）。

也就是說，我們讓▽算子以叉乘的方式作用在電場 E 上，我們就得到了電場 E 的旋度▽×E，而這個旋度的另一種定義就是我們上面說的無窮小非閉合曲面的環流和這個曲面的面積之比。因為旋度的英文單詞是 curl，所以我們用curl(E) 表示電場的旋度。所以，我們就可以寫下下面這樣的式子：

跟散度的兩種定義方式一樣，這里的旋度也有 ▽× 和無窮小曲面的環流兩種表述方式。在散度那里，我給大家證明了那兩種散度形式的等價性，在旋度這里我就不再證明了，感興趣的朋友可以按照類似的思路去嘗試證明一下。

18 矢量的叉乘

函數Y=2X+1圖像上的所有點組成的集合是一條直線，圖象是點的集合（x,y)所以是直線

從它們的幾何意義來說，點乘表示的是投影，因為|OA|cosθ剛好就是OA在OB上的投影，也就是OC的長度。那么叉乘呢？叉乘是|OA|sinθ，這是 AC 的長度，那么|A×B|=|A||B|sinθ=|AC||OB|，這是啥？這是面積啊，如果以OA和OB為邊長作一個平行四邊形，那么AC就剛好是這個平行四邊形的高，也就是說，矢量 A 和 B 的叉乘（|A×B|=|AC||OB|）就代表了平行四邊形 OADB 的面積。

關于矢量的叉乘就說這么多，在前面講矢量點乘的時候，我還詳細介紹了點乘的性質和坐標運算的方法，那是為了自然引出▽算子，不得不講那些。叉乘也有類似的性質和坐標運算的法則，這個在網上隨便一搜或者任意找一本矢量分析的書都能找到。而且，即使現在不會熟練地進行叉乘運算，也不會影響你對麥克斯韋方程組的微分形式的理解，這里了解一下它的定義和幾何意義就行了。

19 方程三：法拉第定律

好，知道了矢量的叉乘，知道了▽×E 可以表示電場的旋度，而且知道旋度的定義是：無窮小非閉合曲面的環流和這個曲面的面積之比。那我們再來回過頭看一看法拉第定律的積分形式：

公式的左邊是電場的環流，右邊是磁通量的變化率，它告訴我們變化的磁通量會在曲面邊界感生出電場。我在積分篇里說過，磁通量（B·a）的變化可以有兩種方式：磁場（B）的變化和通過曲面面積（S）的變化，我們上面這種方式是把這兩種情況都算在內。但是，還有的學者認為只有磁場（B）的變化產生的電場才算法拉第定律，所以法拉第定律還有另外一個版本：

這個版本把原來對整個磁通量（B·da）的求導變成了只對磁感應強度 B 求偏導，這就把磁感線通過曲面面積變化的這種情況給過濾了。

在積分形式里有這樣兩種區別，但是在微分形式里就沒有這種區分了。為什么？你想想我們是怎么從積分變到微分的？我們是讓這個曲面不停縮小再縮小，一直縮小到無窮小，這個無窮小的曲面就只能包含一個沒有大小的點了，你還讓它的面積怎么變？所以微分形式就只用考慮磁感應強度 B 的變化就行了（對應后面那個法拉第定律）。

我們現在假設把那個曲面縮小到無窮小，方程的左邊除以面積 ΔS，那就是電場的旋度 ▽×E 的定義：

左邊除以面積ΔS，那右邊也得除以面積，右邊本來是磁感應強度的變化率（?B/?t）和面積的乘積，現在除以一個面積，那么剩下的就是磁感應強度的變化率?B/?t了。那么，麥克斯韋方程組的第三個方程——法拉第定律的微分形式自然就是這樣：

簡潔吧？清爽吧？這樣表示之后，法拉第定律的微分形式看起來就比積分形式舒服多了，而且它還只有這一種形式。直接從方程上來看，它告訴我們，某一點電場的旋度等于磁感應強度的變化率。簡單歸簡單，要理解這種公式，核心還是要理解左邊，也就是電場的旋度 ▽×E。

20 旋度的幾何意義

我們知道旋度的定義是無窮小曲面的環流和面積的比值，但是它既然取了旋度這個名字，那么它跟旋轉應該還是有點關系的。變化的磁場感生出來的電場也是一個旋渦狀的電場。那么，是不是只要看起來像漩渦狀的矢量場，它就一定有旋度呢？

這個問題我們在討論散度的時候也遇到過，很多初學者認為只要看起來發散的東西就是有散度的，我們通過分析知道這是不對的。一個點電荷產生靜電場，只有在電荷處散度不為零，在其他地方，雖然看起來是散開的，其實散度是零。如果我們放一個非常輕的橡皮筋在上面，除了電荷所在處，在其它地方這個橡皮筋是不會被撐開的（即便會被沖走），所以其他地方的散度都為零。

同樣的，在旋度這里，一個變換的磁場會產生一個旋渦狀的電場，在旋渦的中心，在磁場變化的這個中心點這里，它的旋度肯定是不為零的。但是，在其它地方呢？從公式上看，其它地方的旋度一定為零，為什么？因為其他地方并沒有變化的磁場啊，所以按照法拉第定律的微分形式，在沒有變化的磁場的地方，電場的旋度肯定是0。

跟散度一樣，我們不能僅憑一個感生電場是不是旋轉狀的來判斷這點旋度是否為 0，我們也需要借助一個小道具：小風車。我們把一個小風車放在某一點上，如果這個風車能轉起來，就說明這點的旋度不為0。只要把風車放在感生電場中心以外的地方，就會發現如果外層的電場線讓小風車順時針轉，內層的電場線就會讓小風車逆時針轉，這兩股力剛好抵消了。最終風車不會轉，所以旋度為0。

如果大家能理解，靜電場除了中心點以外的地方散度處處為零，那么理解感生電場除了中心點以外的地方旋度處處為零就不是什么難事。在非中心點的地方，散度的流入、流出兩股力量抵消了，旋度順時針、逆時針兩股力量抵消了，為什么剛好它們能抵消呢？本質原因還是因為這兩種電場都是隨著距離的平方反比減弱。如果它們不遵守平方反比定律，那么你去計算里外的散度和旋度，它們就不再為零。

關于旋度的事情就先說這么多，大家如果理解了旋度，對比法拉第定律的積分方程，要理解它的微分方程是很容易的。我前面花了很大的篇幅給大家講了矢量的點乘和散度，作為類比，理解矢量的叉乘和旋度也不是什么難事，它們確實太相似了。

21 方程四：安培-麥克斯韋定律

講完了磁生電的法拉第定律，我們麥克斯韋方程組就只剩最后一個電生磁的安培-麥克斯韋定律了。它描述的是電流和變化的電場如何產生旋渦狀的感生磁場的，因為電的來源有電流和變化的電場兩項，所以它的形式也是最復雜的。方程的積分形式如下：

左邊是磁場的環流，右邊是曲面包圍的電流（帶enc下標的 I ）和電場的變化率。它告訴我們，如果我們畫一個曲面，通過這個曲面的電流和這個曲面里電通量的變化會在曲面的邊界感生出一個旋渦狀的磁場出來，這個旋渦狀的磁場自然是用磁場的環流來描述。

可以想象，當我們用同樣的方法把這個曲面縮小到無窮小的時候，如果我們在方程的左右兩邊都除以這個曲面的面積，那么方程的左邊就成了磁場 B 的旋度▽×B，右邊的兩項除以一個面積會變成什么呢？

電通量的變化率除以面積之后就剩下電場的變化率 ?E?t，這個跟法拉第定律的磁通量變化率除以面積類似。那么電流（帶enc的 I ）那一項呢？電流 I 除以面積得到的東西是什么？這里我們定義了一個新的物理量：電流密度 J。很顯然，這個電流密度 J 就是電流除以電流通過的曲面的面積（注意不是體積）。相應的，電流密度的單位是 A/m2（安培每平方米）而不是 A/m3。

這樣，麥克斯韋方程組的第四個方程——安培-麥克斯韋定律的微分形式就自然出來了：

雖然還是有點長，但是相比積分形式已經是相當良心了，它告訴我們某一點感生磁場的旋度 ▽×B 等于電流密度 J 和電場變化率 ?E?t 兩項的疊加。其實它跟積分形式講的都是一回事，都是在說電流和變化的電場能夠產生一個磁場，只不過積分形式是針對一個曲面，而微分形式只是針對一個點而已。

22 麥克斯韋方程組

至此，麥克斯韋方程組的四個方程：描述靜電的高斯電場定律、描述靜磁的高斯磁場定律、描述磁生電的法拉第定律和描述電生磁的安培-麥克斯韋定律的微分形式就都說完了。把它們都寫下來就是這樣：

高斯電場定律說，電場的散度跟這點的電荷密度成正比。

高斯磁場定律說，磁場的散度處處為0。

法拉第定律說，感生電場的旋度等于磁感應強度的變化率。

安培-麥克斯韋定律說，感生磁場的旋度等于電流密度和電場強度變化率之和。

這里最引入注目的就是▽算子了，它以點乘和叉乘的方式組成的散度▽·和旋度▽×構成了麥克斯韋方程組微分形式的核心，這也是為什么我要花那么大篇幅從偏導數、矢量點乘一步步給大家引出▽算子的原因。也因為如此，微分篇的數學部分比積分篇要多得多得多，相對也要難以理解一些，所以大家要稍微有耐性一點。

從思想上來講，微分形式和積分形式表達的思想是一樣的，畢竟它們都是麥克斯韋方程組。它們的差別僅僅在于，積分形式是從宏觀的角度描述問題，我們面對的是宏觀上的曲面，所以要用通量和環流來描述電場、磁場；而微分形式是從微觀的角度來描述問題，這時候曲面縮小到無窮小，我們所面對的就變成了一個點，所以我們使用散度和旋度來描述電場、磁場。

理解了這些，再回過頭去看看麥克斯韋方程組的積分形式：

我們只不過把定義在曲面上的通量和環流縮小到了一個點，然后順勢在這個點上用利用通量和環流定義了散度和旋度。因為定義散度和旋度還要分別除以體積和面積，所以積分方程的右邊也都相應地除以體積和面積，然后就出現了電荷密度 ρ（電荷Q除以體積V）和電流密度 J（電流 I 除以面積S），電通量和磁通量那邊除以一個體積和面積就剩下電場強度 E 和磁感應強度 B 的變化率，僅此而已。

如果我們從這種角度去看麥克斯韋方程組的積分形式和微分形式，你就會覺得非常自然和諧。給出積分形式，你一想散度和旋度的定義，就可以立馬寫出對應的微分形式；給出微分形式，再想一想散度和旋度的定義，也能立刻寫出對應的積分形式。當我想從宏觀入手的時候，我看到了曲面上的通量和環流；當我想從微觀入手的時候，我也能立馬看到一個點上的散度和旋度。積分和微分形式在這里達成了一種和諧的統一。

y=2x+1 2x=y-1 x=(y-1)/2=(1/2)y-1/2 arcy=(1/2)x-

23 結 語

到這里，麥克斯韋方程組的積分篇和微分篇就都說完了。我們在這兩篇文章里先從零開始引出了通量，然后從通量的概念慢慢引出了麥克斯韋方程組的積分形式，再從積分形式用“把曲面壓縮到無窮小”推出了對應的微分形式。整個過程我都極力做到“通俗但不失準確”，所有新概念的引出都會先做層層鋪墊，絕不從天而降拋出一個新東西。目的就是為了讓更多的人能夠更好地了解麥克斯韋方程組，特別是讓中學生也能看懂，能理解麥克斯韋方程組的美妙，同時也激發他們對科學的好奇和熱愛之心，打消他們對“高深”科學的畏懼之心：看，這么高大上的麥克斯韋方程組，年紀輕輕的我也能看懂，也能掌握！

此外，麥克斯韋方程組是真的很美，你掌握的物理知識越多，就會越覺得它美。我也更希望大家是因為它的美而喜歡這個方程組，而不僅僅是因為它的“重要性”。我們也都知道，麥克斯韋寫出這套方程組以后，就從方程推導出了電磁波，當他把相關的參數代入進去算出電磁波的速度的時候，他驚呆了！他發現這個電磁波的速度跟人們實驗測量的光速極為接近，于是他給出了一個大膽的預測：光就是一種電磁波。

可惜的是，英年早逝的麥克斯韋（48歲去世）并沒能看到他的預言被證實，直到他去世9年后，也就是1888年，赫茲才首次證實了“光是一種電磁波”。那么，麥克斯韋是怎么從方程組導出電磁波的呢？既然我們已經學完了麥克斯韋方程組，想必大家也很知道如何從這套方程組推導出電磁波的方程，然后親眼見證“電磁波的速度等于光速”這一奇跡時刻。這部分的內容，我們下篇文章再說。

不是，是一次函數 圖形為直線

最美的方程，愿你能懂她的美～

后記

麥克斯韋方程是近代物理的基石之一。每個做物理的人都需要掌握。要想知道麥克斯韋方程有多重要，我這里講個故事。我每次從加拿大開車入境美國，在邊境上，美國檢察官都這樣問：“你是干什么的？”

我回答：“搞物理的。”

檢察官：“你知道麥克斯韋方程有幾個嗎？”

我想：如果檢察官是研究生水平，我應當回答兩個。如果檢察官是大學生水平，我應回答四個。如果檢察官是高中生水平，我就不知道回答幾個了。最后我試著說：“四個。” 他就放我過境了。(看來我不是假裝搞物理的。)

—— 文小剛

本文經授權轉載自微信公眾號“長尾科技”，「返樸」做了少量修改。

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